Domani all’ippodromo di Napoli si terrà un’importante corsa di cavalli dove parteciperà il mio cavallo preferito, Soldatino. So che Soldatino è praticamente imbattibile sull’asciutto, mentre ha grosse difficoltà quando piove e il terreno è fangoso. All’ippodromo di Napoli piove soltanto 5 giorni all’anno ma, sfortunatamente, le previsioni del tempo per domani danno pioggia. Dai dati degli anni scorsi so che le previsioni del tempo sono state azzeccate nel 90% dei casi. Per sapere se mi conviene scommettere su Soldatino devo capire quante probabilità ci sono davvero che piova domani.
Che cosa c’entrano le scommesse sui cavalli con il CICAP? Ci aiuteranno a portare avanti il discorso che avevamo iniziato la volta scorsa. Nel numero precedente della rubrica avevamo concluso che, al contrario di quello che si dice a volte, un solo esperimento superato non basterebbe per convincerci che i fenomeni paranormali esistono. Ora entriamo un po’ più nei particolari con il calcolo delle probabilità.
Cominciamo col dire che quando facciamo un esperimento di questo tipo ci sono 4 possibilità, che riassumiamo in questa tabella:
Quando l’esperimento ha successo non mi dà una certezza assoluta: c’è sempre una certa probabilità che il fenomeno in realtà non esista, cioè che si tratti di un “falso positivo”. Allo stesso modo, quando il risultato è negativo non è detto che il fenomeno non esista: potrebbe essere un “falso negativo”, cioè un fenomeno realmente esistente che non è stato individuato. Nel linguaggio medico la capacità di un esperimento di trovare regolarmente i fenomeni che esistono, cioè di dare pochi falsi negativi, si chiama sensibilità, mentre la capacità di dare pochi falsi positivi si chiama specificità.
Nel caso degli esperimenti sui fenomeni paranormali, gli scettici si preoccupano soprattutto di avere una specificità alta: in parapsicologia, per esempio, si fissa all’1% la probabilità di falsi positivi, cioè si richiede una specificità del 99%. In pratica questo significa per esempio che il soggetto non deve indovinare tutte le carte Zener che gli vengono presentate, ma deve comunque indovinarne così tante che la probabilità di riuscirci per caso sia l’1%.
Dal punto di vista del soggetto esaminato è importante invece che la sensibilità del test sia alta, cioè che i falsi negativi siano pochi: se il soggetto ritiene per esempio che le sue facoltà extrasensoriali gli permettano di indovinare regolarmente l’80% delle carte, avrà bisogno che il criterio di successo del test non sia così severo da scambiare questo risultato con un effetto casuale.
Facciamo un esempio immaginario.
Il rabdomante Pasquale Cozzamara dichiara di essere in grado di individuare l’acqua sotterranea nel 90% dei casi. Il gruppo CICAP Vattelapesca organizza un esperimento per mettere alla prova le sue capacità, richiedendo al signor Cozzamara di trovare l’acqua almeno 18 volte su 24. Facendo i conti (che qui ci risparmiamo), questo criterio comporta una probabilità di falsi positivi inferiore all’1%. A sorpresa, Cozzamara indovina 19 volte su 24 e quindi supera il test. Quante sono le probabilità che Cozzamara abbia davvero dei poteri paranormali?
Si tende a dare risposte diverse a questa domanda a seconda delle proprie inclinazioni. Qualcuno azzarderà il 99%. Gli scettici sospetteranno un trucco, oppure qualche difetto nel protocollo sperimentale che involontariamente abbia fornito al rabdomante indizi sulla presenza dell’acqua. Da parte sua, chi crede nel paranormale penserà che la sua esistenza sia più che dimostrata.
È ovvio che ognuno tiri acqua al proprio mulino, ma qui vorremmo capire se è possibile determinare in modo oggettivo la probabilità di un fenomeno paranormale, dato il risultato sperimentale positivo. È il problema della cosiddetta “probabilità inversa”, poco intuitivo perché ci richiede di ragionare al contrario rispetto al consueto. Normalmente conosciamo la frequenza di un fenomeno e possiamo quindi valutare la capacità di un esperimento di misurarla correttamente (per esempio, i test del virus HIV hanno una sensibilità superiore al 99%). In questo caso invece conosciamo il risultato dell’esperimento e dobbiamo usarlo per determinare la probabilità che il fenomeno sia avvenuto, oppure, nel caso del cavallo Soldatino, conosciamo le previsioni del tempo e dobbiamo calcolare la probabilità che domani piova oppure no.
Un comodo strumento per calcolare la probabilità inversa è stato inventato da Thomas Bayes, un matematico e teologo presbiteriano del Settecento: si chiama in suo onore “teorema di Bayes”.
Per illustrarlo siamo costretti a usare qualche simbolo matematico. Dobbiamo distinguere tra la probabilità del fenomeno paranormale prima dell’esperimento e la sua probabilità dopo l’esperimento, che ovviamente sarà più alta se è riuscito e più bassa se è fallito. Chiamiamo queste due probabilità rispettivamente probabilità a priori e a posteriori.
Se chiamiamo E l’esperimento e F il presunto fenomeno paranormale, P(F) è la probabilità a priori, P(E) la probabilità che l’esperimento abbia successo e P(F|E) la probabilità a posteriori, dato il successo dell’esperimento.
Il teorema di Bayes dice che
P(F|E) = P(E|F) P(F) / P(E)
Nella formula, P(E|F) è la probabilità che l’esperimento abbia successo data l’esistenza del fenomeno, cioè la sensibilità dell’esperimento: nell’esempio di Cozzamara, si può calcolare che è anche questa il 99%.
Ci conviene scrivere la formula un altro modo. Se sono disposto a scommettere dieci contro uno che i fenomeni paranormali non esistano, significa che ritengo la loro inesistenza dieci volte più probabile della loro esistenza. Definiamo allora come quota il rapporto tra la probabilità che un fenomeno esista e che non esista.
Se chiamiamo P(~F) la probabilità che il fenomeno non esista, la quota a priori di un fenomeno paranormale è Q(F) = P(F)/P(~F), mentre la sua quota a posteriori è Q(F|E) = P(F|E)/P(~F/E).
Il teorema di Bayes diventa
Q(F|E) = Q(F) P(E|F) / P(E|~F)
In altre parole, la quota a posteriori di un fenomeno è uguale alla quota a priori moltiplicata per un rapporto chiamato rapporto di verosimiglianza dell’esperimento: più questo valore è alto e più il successo dell’esperimento fa aumentare la probabilità che il fenomeno esista.
Per esempio, si può calcolare che nel caso di Cozzamara il rapporto di verosimiglianza dell’esperimento è 99,25: se l’esperimento ha successo, la quota a cui scommettere sui poteri del rabdomante aumenta di circa 100 volte.
Niente male, ma quanto vale in assoluto questa probabilità? Siamo al punto di prima, perché tutto dipende dalla probabilità a priori, che non può avere un valore oggettivo perché non sappiamo quale percentuale di rabdomanti abbia reali poteri. Sappiamo che finora non ne abbiamo trovato nessuno, ma se non vogliamo beccarci l’accusa di essere prevenuti dobbiamo ammettere in linea di principio che possa esistere qualche “vero” rabdomante che non è ancora stato messo alla prova.
Questa probabilità avrà quindi un valore maggiore di zero, più o meno piccolo a seconda di quanto siamo scettici. In caso di successo dell’esperimento, la probabilità aumenterà in proporzione al rapporto di verosimiglianza. Se però se siamo partiti da un numero minuscolo resterà comunque molto piccola, cioè l’esperimento non sarà decisivo.
Naturalmente il teorema di Bayes non aggiunge nulla rispetto alle formule della probabilità condizionata, ma rende esplicita la componente soggettiva della stima: è impossibile determinare oggettivamente la probabilità di un fenomeno paranormale attraverso un esperimento.
La teoria mostra che tramite esperimenti successivi la probabilità a posteriori converge gradualmente verso lo stesso valore anche se si parte da stime iniziali completamente diverse. In effetti la storia degli esperimenti sui fenomeni paranormali mostra un tale numero di fallimenti che, per quanto alte fossero le stime iniziali sulla loro probabilità, la probabilità a posteriori non può che essersi attestata su un valore molto basso, piuttosto vicino a zero agli effetti pratici.
E Soldatino?
La probabilità che piova domani è P(F) = 5/365, quella che non piova è P(~F) = 360/365.
Se davvero pioverà, la probabilità che le previsioni siano di pioggia è P(E|F) = 0,9; se invece non pioverà, questa probabilità scende a P(E|~F) = 0,1.
La probabilità totale che le previsioni siano di pioggia è quindi uguale alla somma delle probabilità nei casi che piova e che non piova, cioè
P(E) = P(E|F)P(F) + P(E|~F)P(~F).
Per il teorema di Bayes la probabilità che domani piova, date le previsioni di pioggia, è pari a
(5/365)(0,9) / [(5/365)(0,9) + (360/365)(0,1)] = 0,111 = 11,1%
A sorpresa, nonostante le previsioni diano pioggia, la probabilità che domani piova è poco più del 10%.
Questo è solo uno dei casi in cui il teorema di Bayes può portare a risultati controintuitivi. Insomma, mi conviene scommettere su Soldatino.
Sull’esistenza dei fenomeni paranormali, per il momento, non ancora.
Che cosa c’entrano le scommesse sui cavalli con il CICAP? Ci aiuteranno a portare avanti il discorso che avevamo iniziato la volta scorsa. Nel numero precedente della rubrica avevamo concluso che, al contrario di quello che si dice a volte, un solo esperimento superato non basterebbe per convincerci che i fenomeni paranormali esistono. Ora entriamo un po’ più nei particolari con il calcolo delle probabilità.
Cominciamo col dire che quando facciamo un esperimento di questo tipo ci sono 4 possibilità, che riassumiamo in questa tabella:
| Il fenomeno esiste | Il fenomeno non esiste | |
| Il test è positivo | veri positivi (sensibilità) | falsi positivi |
| Il test è negativo | falsi negativi | veri negativi (specificità) |
Quando l’esperimento ha successo non mi dà una certezza assoluta: c’è sempre una certa probabilità che il fenomeno in realtà non esista, cioè che si tratti di un “falso positivo”. Allo stesso modo, quando il risultato è negativo non è detto che il fenomeno non esista: potrebbe essere un “falso negativo”, cioè un fenomeno realmente esistente che non è stato individuato. Nel linguaggio medico la capacità di un esperimento di trovare regolarmente i fenomeni che esistono, cioè di dare pochi falsi negativi, si chiama sensibilità, mentre la capacità di dare pochi falsi positivi si chiama specificità.
Nel caso degli esperimenti sui fenomeni paranormali, gli scettici si preoccupano soprattutto di avere una specificità alta: in parapsicologia, per esempio, si fissa all’1% la probabilità di falsi positivi, cioè si richiede una specificità del 99%. In pratica questo significa per esempio che il soggetto non deve indovinare tutte le carte Zener che gli vengono presentate, ma deve comunque indovinarne così tante che la probabilità di riuscirci per caso sia l’1%.
Dal punto di vista del soggetto esaminato è importante invece che la sensibilità del test sia alta, cioè che i falsi negativi siano pochi: se il soggetto ritiene per esempio che le sue facoltà extrasensoriali gli permettano di indovinare regolarmente l’80% delle carte, avrà bisogno che il criterio di successo del test non sia così severo da scambiare questo risultato con un effetto casuale.
Facciamo un esempio immaginario.
Il rabdomante Pasquale Cozzamara dichiara di essere in grado di individuare l’acqua sotterranea nel 90% dei casi. Il gruppo CICAP Vattelapesca organizza un esperimento per mettere alla prova le sue capacità, richiedendo al signor Cozzamara di trovare l’acqua almeno 18 volte su 24. Facendo i conti (che qui ci risparmiamo), questo criterio comporta una probabilità di falsi positivi inferiore all’1%. A sorpresa, Cozzamara indovina 19 volte su 24 e quindi supera il test. Quante sono le probabilità che Cozzamara abbia davvero dei poteri paranormali?
Si tende a dare risposte diverse a questa domanda a seconda delle proprie inclinazioni. Qualcuno azzarderà il 99%. Gli scettici sospetteranno un trucco, oppure qualche difetto nel protocollo sperimentale che involontariamente abbia fornito al rabdomante indizi sulla presenza dell’acqua. Da parte sua, chi crede nel paranormale penserà che la sua esistenza sia più che dimostrata.
È ovvio che ognuno tiri acqua al proprio mulino, ma qui vorremmo capire se è possibile determinare in modo oggettivo la probabilità di un fenomeno paranormale, dato il risultato sperimentale positivo. È il problema della cosiddetta “probabilità inversa”, poco intuitivo perché ci richiede di ragionare al contrario rispetto al consueto. Normalmente conosciamo la frequenza di un fenomeno e possiamo quindi valutare la capacità di un esperimento di misurarla correttamente (per esempio, i test del virus HIV hanno una sensibilità superiore al 99%). In questo caso invece conosciamo il risultato dell’esperimento e dobbiamo usarlo per determinare la probabilità che il fenomeno sia avvenuto, oppure, nel caso del cavallo Soldatino, conosciamo le previsioni del tempo e dobbiamo calcolare la probabilità che domani piova oppure no.
Un comodo strumento per calcolare la probabilità inversa è stato inventato da Thomas Bayes, un matematico e teologo presbiteriano del Settecento: si chiama in suo onore “teorema di Bayes”.
Per illustrarlo siamo costretti a usare qualche simbolo matematico. Dobbiamo distinguere tra la probabilità del fenomeno paranormale prima dell’esperimento e la sua probabilità dopo l’esperimento, che ovviamente sarà più alta se è riuscito e più bassa se è fallito. Chiamiamo queste due probabilità rispettivamente probabilità a priori e a posteriori.
Se chiamiamo E l’esperimento e F il presunto fenomeno paranormale, P(F) è la probabilità a priori, P(E) la probabilità che l’esperimento abbia successo e P(F|E) la probabilità a posteriori, dato il successo dell’esperimento.
Il teorema di Bayes dice che
P(F|E) = P(E|F) P(F) / P(E)
Nella formula, P(E|F) è la probabilità che l’esperimento abbia successo data l’esistenza del fenomeno, cioè la sensibilità dell’esperimento: nell’esempio di Cozzamara, si può calcolare che è anche questa il 99%.
Ci conviene scrivere la formula un altro modo. Se sono disposto a scommettere dieci contro uno che i fenomeni paranormali non esistano, significa che ritengo la loro inesistenza dieci volte più probabile della loro esistenza. Definiamo allora come quota il rapporto tra la probabilità che un fenomeno esista e che non esista.
Se chiamiamo P(~F) la probabilità che il fenomeno non esista, la quota a priori di un fenomeno paranormale è Q(F) = P(F)/P(~F), mentre la sua quota a posteriori è Q(F|E) = P(F|E)/P(~F/E).
Il teorema di Bayes diventa
Q(F|E) = Q(F) P(E|F) / P(E|~F)
In altre parole, la quota a posteriori di un fenomeno è uguale alla quota a priori moltiplicata per un rapporto chiamato rapporto di verosimiglianza dell’esperimento: più questo valore è alto e più il successo dell’esperimento fa aumentare la probabilità che il fenomeno esista.
Per esempio, si può calcolare che nel caso di Cozzamara il rapporto di verosimiglianza dell’esperimento è 99,25: se l’esperimento ha successo, la quota a cui scommettere sui poteri del rabdomante aumenta di circa 100 volte.
Niente male, ma quanto vale in assoluto questa probabilità? Siamo al punto di prima, perché tutto dipende dalla probabilità a priori, che non può avere un valore oggettivo perché non sappiamo quale percentuale di rabdomanti abbia reali poteri. Sappiamo che finora non ne abbiamo trovato nessuno, ma se non vogliamo beccarci l’accusa di essere prevenuti dobbiamo ammettere in linea di principio che possa esistere qualche “vero” rabdomante che non è ancora stato messo alla prova.
Questa probabilità avrà quindi un valore maggiore di zero, più o meno piccolo a seconda di quanto siamo scettici. In caso di successo dell’esperimento, la probabilità aumenterà in proporzione al rapporto di verosimiglianza. Se però se siamo partiti da un numero minuscolo resterà comunque molto piccola, cioè l’esperimento non sarà decisivo.
Naturalmente il teorema di Bayes non aggiunge nulla rispetto alle formule della probabilità condizionata, ma rende esplicita la componente soggettiva della stima: è impossibile determinare oggettivamente la probabilità di un fenomeno paranormale attraverso un esperimento.
La teoria mostra che tramite esperimenti successivi la probabilità a posteriori converge gradualmente verso lo stesso valore anche se si parte da stime iniziali completamente diverse. In effetti la storia degli esperimenti sui fenomeni paranormali mostra un tale numero di fallimenti che, per quanto alte fossero le stime iniziali sulla loro probabilità, la probabilità a posteriori non può che essersi attestata su un valore molto basso, piuttosto vicino a zero agli effetti pratici.
E Soldatino?
La probabilità che piova domani è P(F) = 5/365, quella che non piova è P(~F) = 360/365.
Se davvero pioverà, la probabilità che le previsioni siano di pioggia è P(E|F) = 0,9; se invece non pioverà, questa probabilità scende a P(E|~F) = 0,1.
La probabilità totale che le previsioni siano di pioggia è quindi uguale alla somma delle probabilità nei casi che piova e che non piova, cioè
P(E) = P(E|F)P(F) + P(E|~F)P(~F).
Per il teorema di Bayes la probabilità che domani piova, date le previsioni di pioggia, è pari a
(5/365)(0,9) / [(5/365)(0,9) + (360/365)(0,1)] = 0,111 = 11,1%
A sorpresa, nonostante le previsioni diano pioggia, la probabilità che domani piova è poco più del 10%.
Questo è solo uno dei casi in cui il teorema di Bayes può portare a risultati controintuitivi. Insomma, mi conviene scommettere su Soldatino.
Sull’esistenza dei fenomeni paranormali, per il momento, non ancora.
