Il lettore Alberto Sassonia mi scrive: "Vorrei capire bene perché, contrariamente a quanto molti credono, a ogni estrazione del lotto ciascun numero ha eguale probabilità di uscire, anche se sono secoli che non appare?". Mi chiede anche se c'è un modo sicuro per vincere alla roulette. Rispondo.
A ogni estrazione del Lotto, visto che i numeri della precedente giocata vengono ricollocati nell'urna, la probabilità che esca un dato numero è sempre di una su N, se N è il totale dei numeri presenti. Ad ogni estrazione settimanale, l'urna non ha memoria di quanto è avvenuto nel passato e la probabilità di estrazione di una data combinazione vincente è esattamente la stessa di qualsiasi altra. Per intenderci, la bella cinquina ordinata 1-2-3-4-5 ha la stessa probabilità di 54-31-80-9-27, una cinquina priva di speciali meriti e ciò, inoltre, senza alcun riguardo al fatto che magari il numero 9 non esce da trent'anni. Ma la gente in media non è molto razionale, non si sofferma a riflettere, e in più ama sognare, e così gioca al Lotto sui numeri ritardatari, pur non avendo alcuna probabilità in più di chi gioca su un numero appena uscito. Facciamo qualche esempio in un caso più semplice, quello del lancio della moneta, dove gli esiti possibili sono soltanto due, Testa (T) e Croce (C). Analoghe considerazioni valgono per il rosso e il nero alla roulette. Si segua lo schema mostrato nella figura. Al primo lancio la probabilità che esca Testa è una su due, vale a dire 1/2 (una probabilità 1/2 si ha quando, se il lancio viene ripetuto un numero adeguatamente grande di volte, alla fine si contano mediamente il 50% di uscite di un tipo e il 50% dell'altro).
Una probabilità di 1/2 per l'uscita Testa si ha anche al secondo lancio, al terzo, al quarto e via di seguito. Ogni volta, cioè, la probabilità che esca Testa è identica, indipendentemente dal fatto che essa sia uscita o meno nei lanci immediatamente precedenti, anche più volte consecutive. In altre parole, se si è avuta una sequenza di tre Testa di fila, chi scommette sul quarto lancio non ha alcun motivo di credere che la probabilità di vincere puntando su Croce sia più elevata che puntando su Testa. E questo nemmeno se Testa è uscita cento volte consecutive!
Dal punto di vista psicologico, tuttavia, molte persone fanno fatica ad accettare questa semplice verità. Perché questo? Perché tendono a giudicare il processo nella sua globalità, anziché esaminarlo nei singoli passi successivi del suo svolgimento (come deve fare chi punta di lancio in lancio, o di estrazione in estrazione nel caso del Lotto). Non si tratta di scommettere a priori sull'uscita di quattro Testa consecutivi (ossia sull'evento complessivo), evenienza che sarebbe in effetti poco probabile. In tal caso, infatti, dovrebbe realizzarsi per quattro volte di fila un evento che ad ogni lancio ha il 50% di probabilità. Il calcolo combinatorio ci dice che la probabilità complessiva è metà della metà della metà della metà, ossia 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2, che è come dire (1/2)4=1/16, una probabilità su sedici. Ci si può rendere subito conto del fatto che le probabilità vanno tra loro moltiplicate se si pensa che su due lanci consecutivi si possono avere le seguenti uscite: TT, TC, CT, CC, dunque 1/4 per doppia Testa. Il caso dei quattro lanci mostrato nella figura conduce, per quattro uscite T consecutive (TTTT) a 1 esito su 16. La stessa probabilità, si noti bene, che quattro monete lanciate simultaneamente diano tutte Testa. Se ci fossero state 99 uscite consecutive di Testa, la probabilità di una centesima uscita sarebbe 1/2 elevato alla 100, ossia circa 1/1030 (una su mille miliardi di miliardi di miliardi): praticamente impossibile. Ma se si punta Testa sulla centesima "dopo" che si è verificato il rarissimo evento di 99 uscite di Testa, la probabilità di vincere è sempre del 50%!
Quanto alla roulette, il modo sicuro per vincere ci sarebbe se uno avesse una scorta inesauribile di denaro. Basterebbe puntare su un evento che ha il 50% di probabilità di realizzarsi - ad esempio l'uscita del rosso - e in caso di perdita ripuntare raddoppiando ogni volta la posta, per ricominciare tutto daccapo non appena si vince (non occorre ripuntare sul rosso, naturalmente, perché scegliendo il nero, o magari il pari o il dispari, si ha in ogni caso il 50% di probabilità di vincere, come si è visto a proposito della moneta). Esemplifichiamo: si supponga di mettere 1 euro sul rosso e di perdere. Allora si puntano di nuovo 2 euro e perdendo ancora se ne puntano 4 allo stesso modo, poi 8, poi 16. Mettiamo che a questo punto si vinca. Totale investito 1+2+4+8+16=31 euro, totale incassato 16x2=32 euro. Ricavo netto 1 euro: si noti che 1 euro è la somma vinta quale che sia il numero di volte che si è dovuto puntare. Non è una questione di probabilità: si vince sempre, anche se molto poco e con pazienza certosina, semplicemente perché prima o poi uscirà ciò su cui abbiamo scommesso.
Dov'è l'inghippo? Nel fatto che un incremento esponenziale nella puntata, com'è il raddoppio, porta prestissimo a cifre proibitive, che lo scommettitore a un certo punto non può più sostenere. E allora perde in un sol colpo un mucchio di quattrini. Per esempio: se la prima puntata è, diciamo, di 10 euro, l'undicesima è 10x210 =10.240 euro. E questo se la roulette è equa, ossia se offre esattamente il 50% delle probabilità (come sarebbe per una moneta che può solo essere Testa o Croce). In realtà, le cose stanno peggio di così, giacché nelle roulette dei casinò c'è anche una casella priva di colore e di numero che pone il croupier sempre in vantaggio sui giocatori: facendo la media sui tempi lunghi, necessari per vincere un gruzzolo apprezzabile, lo scommettitore non chiuderà mai in vincita.
Andrea Frova
Professore di Fisica Generale
Università di Roma"La Sapienza"
